解开「费马最后定理」的怀尔斯

来源:科學月刊》2016 年 7月號 | 发布: | 发布时间:2016-09-2,星期五 | 阅读:913

作者|李武炎/曾任教于淡江大学数学系,现为《科学月刊》编辑委员。

今年素有「数学诺贝尔奖」的阿贝尔奖由美国牛津大学皇家协会讲座教授怀尔斯(Andrew Wiles)获得,推荐文中指出,为了表彰他利用半稳定椭圆曲线的模猜想推出「费马最后定理」的震憾证明,对数论的发展开启一个新的世代,奖项已于今(2016)年 5 月 24 日在挪威首都奥斯陆颁发。

怀尔斯。图/wiki

英年早逝的天才数学家阿贝尔

阿贝尔(Niels Henrik Abel,1802~1829)是挪威历史上一位非常著名的数学家,他在很年轻的时候就已经研习大数学家欧拉、拉格朗治、拉普拉斯及高斯等人的著作。19 岁时,他解决了困惑数学界 200 年的老问题:一般 5 次方程式根的公式解是不存在的,如此非凡的表现奠定他在历史上的地位。另外他在超越函数上的研究,对椭圆函数理论起了革命性的影响。阿贝尔生前非常贫困,18 岁时就肩负起照顾家中 6 个弟妹的重责,后来不幸罹患肺结核,因为无法得到良好的调养, 很可惜在 1829 年 4 月 6 日以 26 岁的年纪辞世,实在是英年早逝,死后两天,数学家克雷勒(August Leopold Crelle) 携来柏林欲聘请他担任教授的聘书,但已经来不及了。后来数学界为了纪念他,特别将抽象代数学中的一个结构交换群命名为「阿贝尔群(abelian group)」,以他为名的专有名词已经被普通化了,是为了更能彰显他的伟大。

挪威政府一直有设立纪念阿贝尔的奖项的念头,这是要弥补诺贝尔奖没有数学项目的遗憾,但这个奖项的成立一直要等到西元 2002 年阿贝尔 200 岁诞辰方才实现。2002 年阿贝尔奖开始颁发,而第一届的得主便是法国数学家,同时是数学界大老的谢尔(Jean-Pierre Serre)。去年 2015 年的得主是电影《美丽境界》戏中的主人翁约翰纳许,但去年 5 月 19 日纳许夫妇领取阿贝尔奖返家途中不幸发生车祸遇难,曾造成新闻界一阵报导。观察阿贝尔奖的历届得主,都是当代数学的翘楚, 而且大都是年高德劭著作等身的数学圈耆老,怀尔斯虽属壮年,但因为他解决「费马最后定理」这个世纪难题, 名气实在太大了,因此阿贝尔奖的评审委员会决定颁授 2016 年的奖给他。有人说这是迟来的奖项,因为自从 20 几年前怀尔斯证出这个划时代的问题后,已经得奖无数,几乎全世界所有的数学奖都被他囊括,其中包括著名的沃尔夫数学奖(1995 年)、沃尔夫斯克尔奖(1997 年)以及邵逸夫奖(2005 年)等,今年添上阿贝尔奖无疑是在怀尔斯的功勋簿上贴满最后一块拼图。值得一提的是,当年怀尔斯解决费马最后定理时已经年过 40, 无缘获得数学界的费尔兹奖章(Fields Medal)。

 费马最后定理

「费马最后定理」是个一般人都可以明瞭的题目, 并不需要具备很深的数学背景才能理解──探讨方程式: xn+yn=zn 的正整数解。当 n = 2 时, 让我们想到熟知的毕氏定理(又称勾股弦定理),此处 z 代表一个直角三角形的斜边长,x 与 y 则为此三角形之两股的长,也就是说一个直角三角形的斜边长的平方等于它的两股长之平方和。 这个方程式当然有许多正整数解,例如:x = 3,y = 4,z = 5;x = 6,y = 8,z = 10;x = 5,y = 12, z = 13 ⋯⋯等等。费马声称当 n ≥ 3 为正整数时, 就不存在非零的整数解

费马最后定理中 n=2 时的 a2+b2=c也就是一般所熟知的毕氏定理。图/wiki

数学业馀王子─费马

费马(Pierre de Fermat,1601~1665)是一位留著长髮,穿著中古世纪欧洲袍的法国数学家。他是 17 世纪最卓越的数学家之一,在许多数学领域都有极大的贡献,例如:他在笛卡儿之前发明解析几何,也在微积分的发展有所建树,他与巴斯卡被公认是机率论的先驱, 然而他在数论上的研究成果最为后人所记得。他的本行是专业的律师,数学只是他的爱好,而他所作的数学作品都是第一等的工作,为了表彰他的数学造诣,世人冠以「业馀王子」的美誉。在 1637 年的某一天,费马正在阅读一本古希腊时代数学家丢番图(Diophantus) 的数论书《算术学》(Arithmetica)时,突然心血来潮在书页的空白处写下这个看似简单的定理:当 n ≥ 3 为正整数时, 没有非零的整数解。

费马。

当时费马并没有说明原因,不过他留下这一段话:「我已经发现一个非常美妙的证明,只是书页的空白处太小无法写下来。」,始作俑者的费马也因此留下了这个千古的难题,300 多年来无数的数学家尝试要求解决这个难题都徒劳无功,这个号称「世纪难题」的「费马最后定理」也就成了数学界的心头大患,极欲解之而后快。19 世纪时法国的法兰西学院曾二度悬赏金质奖章及 300 法郎给任何解决此一难题之人,可惜都没有人能够领到奖赏。德国的一位工业家沃尔夫斯克尔(Paul Wolfskehl,1856~1906)对「费马最后定理」情有独锺,他死后,根据其遗嘱遗赠 10 万马克(约合 5000 万新台币),颁给能够证明「费马最后定理」是正确的人。

在戴奥弗多斯(Diophantus)的《算数》(Arithmetica)1680年的版本中,出现了费马最后定理。

这个奖在 1908 年设立,有效期间为 100 年,怀尔斯在 1997 年领到这个奖时,奖金只有约 150 万新台币, 原因是这段期间世界曾发生经济大萧条,此笔奖额已大幅贬值了。当年沃尔夫斯克尔奖一宣布时,确实吸引不少「数学痴」去从事这个问题,而社会上也掀起了一股疯「FLT(Fermat’s Last theorem)热」。20 世纪电脑发展以后,许多数学家利用电脑计算可以证明这个定理当 n 很大时是成立的,1983 年电脑专家斯洛文斯基借助电脑运行 5782 秒证明当 n 为286243-1 时「费马最后定理」是正确的,286243-1是一个天文数字, 大约有 25960 位数。虽然如此,数学家还是没有找到一个普遍性的证明。不过这个三百多年的数学悬案终于解决了,由当时在美国普林斯顿大学数学系任教的英国数学家怀尔斯教授提出证明,其实他是利用 20 世纪过去 30 年来代数几何发展的结果加以运用并解决的。

追求数学圣杯的怀尔斯

1993 年的 6 月 21~23 日,怀尔斯在英国剑桥大学所举办的研讨会发表这个结果,这个报告马上震惊了数学界甚至于一般社会大众,怀尔斯证出费马最后定理的消息在 1993 年的 6 月 24 日登上了《纽约时报》、《美国国家广播公司》等重要媒体的头条。一个数学证明能让新闻媒体如此青睐,可谓空前绝后,原因正如前面所言,这是一个能被一般民众所能明白的数学问题,并不需具备很强的数学专业知识。其实数论中有很多问题都与费马最后定理一样,叙述都很浅显易懂,内容也很吸引人去思考,可是证明起来都很难。怀尔斯在 1993 年发表的论文报告经过数学界审慎检查后,却发现了极大的瑕疵,后来怀尔斯与他的学生尝试加以补救,终于在 1994 年 9 月修正成功,并且在 1995 年将修正后的论文发表在《数学年刊》(Annals of Mathematics)上。

伟大的集体成就

「费马最后定理」的最终解决其实要归功于无数数学家的努力,最早在 1950 年代,日本数学家谷山丰首先提出一个有关椭圆曲线的猜想,即二元三次方程式 y2=x3+ax2+bx+c 定义的图形,其中 abc 为有理数,它不是椭圆,而是因为当初数学家想计算椭圆的周长而产生的名词。后来由另一位日本数学家志村五郎加以发扬光大,提出谷山 – 志村猜想:每一个椭圆曲线都具有一种模形式(modularity pattern), 这个名词与高等数学複变函数论有关,在此就不拟加以解释。当时没有人认为这个猜想与「费马最后定理」有任何关联,直到 1980 年代,德国数学家佛列(Gerhard Frey)才将这个猜想与「费马最后定理」挂勾。若对奇质数p而言, ap+bp+c有异于零的整数解,则佛列建议考虑椭圆曲线 y2=x(x+ap)(x-bp),此曲线后来被称为佛列曲线, 因为他觉得此椭圆曲线的判别式 a2pb2p(ap+bp)2=(abc)2p 呈现出一点不太寻常,因此他怀疑这个椭圆曲线不具模形式,所以只要能证明谷山 – 志村猜想就等于证明了「费马最后定理」。

佛列的猜想后来被法国数学家谢尔加以改良,并且在 1986 年由数学家里贝特(Ken Ribet)证明从 ap+bp=cp 所得的佛列曲线违反模形式。根据里贝特的这个启发,怀尔斯就全力去从事谷山 志村猜想的证明,至少要证明绝大部分的椭圆曲线都具有模形式。最后他证明了任何半稳定(semistable)椭圆曲线都具有模形式,而佛列曲线就是一个半稳定椭圆曲线,因此证明 ap+bp=cp 之非零整数解是不存在,从而证明了「费马最后定理」。这裡要提一点,「费马最后定理」是说对任何大于 2 的整数 n 而言,an+bn=cn 没有非零的整数解,其实就是要证明对 n = 4 及任意奇质数(3、5、7⋯)均成立即可,因为对任何大于 2 的整数 nn 必有 4 或奇质数的因数,而当 n = 4 时,费马曾经给予证明(用数论的技巧就可以证出),因此只需考虑 而 p 为奇质数即可。

「费马最后定理」的证明成功并非仅靠一人之力便能解决,虽然怀尔斯完成了封顶之作,但如同前面所提到的谷山丰、志村五郎、佛列及里贝特都是功臣;自古以来,很多数学理论的形成都是从一些猜想或假设开始,激发数学家的兴趣,为了寻求问题的解决,不断努力发展新的数学技巧,也丰富了数学的内涵,而这些建树都是历史上的数学家前仆后继研究所得的成果,我们可以说:数学演进就是团队合作的结晶



 

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